[Fish]

Hier eine fiktive Fragestellung zu bedingten Wahrscheinlichkeiten:

Ihr habt Lotto gespielt (6 aus 49) aber Euren Tippschein verloren. Ihr habt Euch jedoch bei der Lottogesellschaft bei der Tippabgabe registrieren lassen, sodass Euch der Gewinn nicht verloren geht. Einziger Nachteil: Ihr könnt Euren Tipp nicht vor der Gewinnbenachrichtigung der Lottogesellschaft kontrollieren weil Ihr eine rein zufällige Zahlenkombination gewählt habt an die Ihr Euch nicht mehr erinnern könnt. Bekanntlich schicken die Lottogesellschaften vor der Auszahlung großer Summen „Gewinnberater“ zu den glücklichen Teilnehmern um einer sinnlosen Verwendung des Gewinns aufgrund der Euphorie (soweit möglich) vorzubeugen.

Zu Eurer Freude will so ein Gewinnberater mit Euch einen Termin vereinbaren. Er hat aber nicht gesagt wie viel Ihr gewonnen habt. Ihr wisst, dass diese Gewinnberater immer(!) ab mindestens 5 Richtigen die Gewinner besuchen (zumindest in diesem Beispiel ). Ihr wisst also nur, dass Ihr mindestens 5 Richtige habt und jetzt biete ich Euch eine Wette 50 für 1 an, wo ich sage, dass Ihr zwar mindestens 5 Richtige, aber keine 6 Richtigen habt.

Nehmt Ihr die Wette an bzw. welches Wettangebot bildet die tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit am fairsten ab?

Ich habe dieses Beispiel mit einem Freund diskutiert und ich würde mich freuen, wenn Ihr meine Antwort bestätigen würdet.


Fish

[IneffableKoD]

Spambot says:

tl;dr - I bet 3.5K!



MfG
Ineffable "Spambot" KoD

[Big lick]

Rein rechnerisch lohnt sich die Wette.
Also gehe ich sie ein.

[Parvex]

Kann sein, dass mir meine Kopfschmerzen gerade zu stark zu setzen, aber geht das ganze nicht auf 1 aus 44, also 1:43, hinaus?

[Big lick]

das Denke ich auch.

[stratege]

Parvex hat geschrieben:

Kann sein, dass mir meine Kopfschmerzen gerade zu stark zu setzen, aber geht das ganze nicht auf 1 aus 44, also 1:43, hinaus?

Hängt das nicht eher davon ab, wie hoch die Differenz
beim Gewinn "5 Richtige" gegenüber "6 Richtige" ist ?

[Big lick]

Nein, da ich ja weiß das ich bereits 5 richtige habe.

[vitti]

0,0018450 / 0,0000071511 = 258,002265

wahrscheinlichkeit 5 richtige/wahrscheinlichkeit 6 richtige

also nehme ich die wette nicht an - du bietest mir 50:1 - ich bräuchter aber n bisschen mehr als 257:1

oder hab ich mich vertan?

[Fish]

Ich hatte gerade einen Tipp formuliert als vitti seinen Beitrag abgeschickt hat … aber für seine Lösung ist dieser Tipp auch nicht mehr notwendig .

Wichtig ist, dass man die Wahrscheinlichkeit richtig einschätzt. Die geschilderte Situation ist ungleich dem Szenario: Wir sitzen beide mit Tippzettel live bei der Ziehung der Lottozahlen und nach der fünften, korrekten Zahl biete ich ebenfalls die Wette an.

Ich denke es gibt 2 Lösungswege und vitti hat bereits einen aufgezeigt. Das Ergebnis weicht jedoch leicht von meinem Ergebnis (258 : 1) ab. Das liegt vermutlich an den von Ihm zugrunde gelegten Wahrscheinlichkeiten (vermutlich Rundungsfehler).

Wenn man es über die „Hypergeometrische Verteilung“ ermittelt dann kürzen sich (vermutlich) die Terme aus dem Quotienten der Wahrscheinlichkeiten von 5 Richtige zu 6 Richtigen gegenseitig weg und man erhält ein ganzzahliges Ergebnis (ohne Nachkommastelle).

Es gibt aber noch einen zweiten Lösungsweg mittels „Logik der kombinierten Wahrscheinlichkeiten“ (Entscheidungsbaum) und hier kommt ganz sicher ein ganzzahliges Ergebnis (bei meiner Rechnung 258 : 1) heraus.

Zur Erläuterung dieser Lösung (die eigentliche Rechnung umfasst nur einen Einzeiler den man im Kopf rechnen kann) brauche ich aber etwas mehr Zeit als ich jetzt gerade habe und deshalb werde ich den Lösungsweg frühestens heute Abend posten. Vielleicht ergibt sich dann auch noch der Fehler zwischen vittis Lösung und meinem Ergebnis (258 : 1 – also insgesamt 259 Fälle).

IneffableKoD hat geschrieben:

I bet 3.5K!

Your EV = 0,676K!

You lost 2,824K!



Fish

[IneffableKoD]

Donkyplay obv, der Bot hat mich übermannt!

Aber ganz was anderes: Bist du Mathematiker?

MfG
IneffableKoD

[carlemar]

Also spontan hätte ich auch gesagt, dass ich die Wette nicht annehmen würde.
Vorzurechnen muss ich das ja jetzt aber nicht mehr, wurde ja bereits gemacht :/

[Fish]

Hier mein analytischer Lösungsweg über den Entscheidungsbaum:

Zur besseren Anschaulichkeit nehmen wir einmal an, dass in der relevanten Ziehung die Zahlen 49, 48, 47, 46, 45 und 44 (in dieser Reihenfolge) gezogen werden (macht den Entscheidungsbaum übersichtlicher). Der zugehörige Entscheidungsbaum beinhaltet 6 „Stufen“ die für die 6 Ziehungen der Gewinnzahlen stehen. Der vollständige Baum umfasst also alle möglichen Ziehungen von denen der unterste Ast (Entscheidungsweg) bei unserer Ziehung die 6 Richtigen abbildet (wenn man den Baum horizontal anordnet). Die Frage ist jetzt nur noch: Wie viele Äste gibt es, die insgesamt 5 Richtige enthalten. Natürlich gibt es die 43 Äste über dem untersten Ast die bis zur 6.Stufe auf dem gleichen Entscheidungsweg lagen (also die ersten 5 Gewinnzahlen beinhalten - was dem Alternativbeispiel der Live-Ziehung und der Wette vor der Ziehung der sechsten Gewinnzahl entspricht).

Aber!

Es gibt in dem gesamten Entscheidungsbaum noch viele weitere Entscheidungswege die insgesamt 5 Richtige enthalten! So würde z.B. der Tipp 1, 44, 45, 46, 47, 48 direkt auf der ersten Stufe vom oben beschriebenen Entscheidungsweg abweichen aber bei den folgenden Ziehungen (Stufen) die notwendigen 5 richtigen Gewinnzahlen noch erreichen. Da der gesamte Baum alle(!) möglichen Kombinationen enthält müssen wir nur ermitteln wie viele Entscheidungswege von dem 6-Richtige-Weg unmittelbar(!) abzweigen, denn jeweils einer dieser abgezweigten Wege wird 5 Richtige erreichen.

In jeder Stufe (bei jeder Ziehung) entstehen genau 43 Abzweigungen vom 6-Richtige-Entscheidungsweg (in unserem Beispiel die Zahlen 1-43 die überhaupt nicht gezogen werden). Somit sind die Anzahl der Äste die insgesamt 5 Richtige aber keinen 6-er beinhalten:

6*43 = 258

Diese setzt man dann ins Verhältnis zu dem einen Weg der 6 Richtige beinhaltet und erhält das Chancenverhältnis für die „Faire Wette“.

Wichtig ist mir bei dieser Herleitung folgende Aussage:

Zitat:

In jeder Stufe (bei jeder Ziehung einer Gewinnzahl) entstehen genau 43 Abzweigungen vom 6-Richtige-Entscheidungsweg (in unserem Beispiel die Zahlen 1-43 die überhaupt nicht gezogen werden).

Stimmt diese Aussage?

Bei der Ziehung der ersten Gewinnzahl sind es doch schließlich 48 Kugeln die (noch) nicht gezogen werden…

Diese Aussage stimmt deshalb, weil die untergliederten Entscheidungswege der (5) Zahlen die nicht sofort sondern später gezogen werden und ebenfalls 5 Richtige (oder gar 6 Richtige) enthalten nur „Scheinlösungen“ im Entscheidungsbaum darstellen, d.h. sie sind vom Tipp her identisch mit einem anderen Entscheidungsweg. Sie sind nur bzgl. der Ziehungsreihenfolge unterschiedlich (was beim Lotto „6 aus 49“ nicht zählt).

Insbesondere der letzte Punkt könnte evtl. für etwas Konfusion sorgen (und genau diesen Punkt habe ich meinem Freund auch nicht wirklich vermitteln können). Das Ergebnis scheint jedenfalls korrekt und vielleicht fällt ja jemandem hier im Forum eine anschaulichere Erläuterung für die ermittelte Gewinnwahrscheinlichkeit ein.

vitti hat geschrieben:

0,0018450 / 0,0000071511 = 258,002265

also nehme ich die wette nicht an - du bietest mir 50:1 - ich bräuchter aber n bisschen mehr als 257:1

Der Quotient gibt doch an wie viel Mal mehr Fälle es von dem einen als von dem anderen gibt. D.h. 258 Fünfer und 1 Sechser. Insgesamt also 259 Fälle und das entspricht meinem Ergebnis (und nicht 257 : 1). Diese Ungenauigkeit ist aber in diesem Beispiel sicherlich zu vernachlässigen


Fish

[Big lick]

Zitat:

Wichtig ist, dass man die Wahrscheinlichkeit richtig einschätzt. Die geschilderte Situation ist ungleich dem Szenario: Wir sitzen beide mit Tippzettel live bei der Ziehung der Lottozahlen und nach der fünften, korrekten Zahl biete ich ebenfalls die Wette an.

Das hab ich zuerst übersehen

Nette Sache!