[irgendjemand]

In eine Bibliothek kommen durchschnittlich 3 Benutzer pro Stunde.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten
Stunde 5 Benutzer kommen?

[Anzeigen] Spoiler: "Achtung!Lösung!

Wir können die Angabe etwa so auffassen, dass in einer Woche (40 Stunden) 120 Benutzer kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Benutzer in der nächsten Stunde kommt, beträgt 1/40. Daher ist λ = 120/40 = 3. Es handelt sich hier um einen sogenannten Poisson-Prozess der Dichte 3. Wir erhalten für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:


Frage3:
Wie zum Geier kommt man auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Benutzer in der nächsten Stunde kommt auf 1/40?

Bemerkung:
Die Formel ist durchaus nachvollziehbar, aber die Annahme dass eine Bibliothek eine 40 Stundenwoche hat und man dadurch auf die 1/40 kommt ist irgendwie unverständlich. Wenn dieselbe Bibliothek 60 Stunden auf hat, wäre dann die Wahrscheinlichkeit 1/60...
Das λ würde sich ja trotzdem nicht ändern...
Vielleicht sehe ich auch einfach nicht den Wald zwischen den Bäumen

Frage1:
Wie sehe euer Ansatz bei der Aufgabe aus?

Frage2:
Warum ist die Lösung so...

[bozzo]

streberbibliothek statistik die 2.
4 von 5 strebern werden von den punkern auf der treppe vor der biblio angepöbelt und geraped.

[irgendjemand]

bozzo hat geschrieben:

streberbibliothek statistik die 2.
4 von 5 strebern werden von den punkern auf der treppe vor der biblio angepöbelt und geraped.

ich dachte punks sind die guten und stehen eher für das Recht der Minderheiten, als wenn sie diese bekämpfen

[bozzo]

yo kann sein, aber streber werden generell von allen bevölkerungsgruppen unterdrückt.

[irgendjemand]

apropo streber...weiss jemand wo teddi (aka ted forrest fan) steckt.....vielleicht kann er ja mir die statistikaufgabe erklären

[Fish]

Frage 4:
Und wo bleibt die Statistik Aufgabe?

Im OP geht es offensichtlich um Stochastik und nicht Statistik.


Fish

[irgendjemand]

Fish hat geschrieben:

Frage 4:
Und wo bleibt die Statistik Aufgabe?

Im OP geht es offensichtlich um Stochastik und nicht Statistik.


Fish

Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen.

Die Aufgabe habe ich aus einem Skript zur Statistik Vorlesung. Es wird unter dem Themenbereich Diskrete Zufallsvariablen - Die Poissonverteilung behandelt.

[Fish]

Ich finde es schon irreführend die Aufgabe als Statistikaufgabe zu deklarieren - wenn man die Wahrscheinlichkeitsrechnung als ein Werkzeug der Statistik ansieht, dann kann es natürlich in einer Statistikvorlesung auftauchen aber eigentlich verstehe ich unter Statistik etwas anderes...

Inhaltlich verstehe ich Deine Fragen nicht denn Du hast die Lösungen ja auch im Spoiler gepostet.

Im einzelnen:

Frage 1:
Lösungsansatz mit Poisson-Verteilung

Frage 2:
Erwartest Du eine Herleitung der Poisson-Verteilung? Das wäre in einem Post ein wenig aufwendig und überdies in anderen Quellen viel exakter nachzulesen.

Frage 3:
Aufgrund der Aufgabenstellung finde ich es offensichtlich, dass λ=3 ist und hätte die Herleitung mit der Anzahl Stunden/Woche weggelassen. Vergleiche:

Zitat:

Die Poisson-Verteilung liefert also Voraussagen über die Anzahl (k) des Eintretens seltener, zufälliger und voneinander unabhängiger Ereignisse innerhalb eines bestimmten Intervalls, wenn aus vorangehender Beobachtung bereits bekannt ist, wie viele Ereignisse man im Mittel innerhalb dieses Intervalls erwartet (λ). Sie ist ein Spezialfall der Panjer-Verteilung.

Die Aussage:

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Benutzer in der nächsten Stunde kommt, beträgt 1/40.

halte ich für irreführend. Denn wenn man es wörtlich genau nimmt, dann ist es eher unwahrscheinlich, dass genau 120 verschiedene Nutzer in der einen Woche genau einmal die Bibliothek besuchen. Wenn die Besucher tatsächlich Poisson-Verteilt sind, dann wäre es eigentlich viel wahrscheinlicher, dass ca. die Hälfte der Besucher 2-mal oder öfter kommen...

Diese Aussage ist jetzt vielleicht mathematisch etwas gewagt - aber es ist eine gute Überleitung zu dem Beispiel "Das Gesetz der kleinen Zahlen beim Roulette" dem ebenfalls die Poisson-Verteilung zugrunde liegt und das man als Pokerspieler mit solidem Theoriewissen ggf. kennen sollte
(vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_kleinen_Zahlen)

Mit dem Roulette-Beispiel wird aber vielleicht deutlich wie der Skript-Schreiber seine Aussage gemeint hat - die Formulierung finde ich jedoch ein bisschen unglücklich. Aber die Aussage, dass bei einem Roulette-Ereignis die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl 1/37 beträgt ist bestimmt einfach nachzuvollziehen. Und wenn man dann berücksichtigt, dass in dem geschilderten Beispiel von einer 40h-Woche ausgegangen wird, dann erkennt man vielleicht die Analogie zum Roulette-Beispiel und die Wahrscheinlichkeit von 1/40 etwas besser


Fish

[irgendjemand]

Fish hat geschrieben:

Ich finde es schon irreführend die Aufgabe als Statistikaufgabe zu deklarieren - wenn man die Wahrscheinlichkeitsrechnung als ein Werkzeug der Statistik ansieht, dann kann es natürlich in einer Statistikvorlesung auftauchen aber eigentlich verstehe ich unter Statistik etwas anderes...

Naja darüber lässt sich sicher streiten
aber im Endeffekt ist es egal ob Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stochastik oder Statistik irgendwie stecken alle diese Begriffe unter einem Hut.

Fish hat geschrieben:

Frage 1:
Lösungsansatz mit Poisson-Verteilung

Frage 2:
Erwartest Du eine Herleitung der Poisson-Verteilung? Das wäre in einem Post ein wenig aufwendig und überdies in anderen Quellen viel exakter nachzulesen.

Nein die Herleitung habe ich natürlich nicht erwartet.
Hatte gehofft, dass jemand , ohne konkret auf die Poisson Verteilung einzugehen, alleine mit logischen Überlegungen versucht die Aufgabe zu lösen.

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Benutzer in der nächsten Stunde kommt, beträgt 1/40. Daher ist λ = 120/40 = 3

Genau über diese Ansatz in der Lösung hatte ich mich gewundert. Das λ = 3 scheint ja nachvollziehbar zu sein, steht es doch in der Aufgabenstellung für den Mittelwert der Besucher in einer Stunde.

Das Roulette-Beispiel ist auch eindeutiger im Vergleich zu der oberen Aussage. Da eben eine Roulettescheibe aus genau 37 Nummernfächern besteht, bei dieser Aufgabe ist es jedoch unbekannt wie lange genau eine Bibliothek offen ist. Ob 40 oder 50 Stunden pro Woche..denn dann sehen auch die Wahrscheinlichkeiten etwas anders aus. Wobei sich der Mittelwert wohl trotzdem nicht ändern würde.

Mit der Frage hätte ich wohl eher den Dozenten nerven sollen

Und danke für deine kompetente Antwort Fish!

[Fish]

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Benutzer in der nächsten Stunde kommt, beträgt 1/40. Daher ist λ = 120/40 = 3

Wie ich in meinem ersten Post bereits angedeutet habe finde ich diese Formulierung unglücklich denn tatsächlich ist die "Dichte" der Ereignisse mit λ = 3 vorgegeben und dass die Bibliothek 40h/Woche geöffnet hat (und somit 120 Besucher/Woche erscheinen müssen damit die "Ereignisdichte" weiterhin erfüllt bleibt) ist eine willkürliche, aber legitime Annahme.

Gerade dieser Punkt mit der willkürlichen, aber legitimen Annahme der Wochenstunden ist vielleicht ein bisschen abstrakt und deshalb ggf. persönlich einfacher zu erklären.

Vielleicht ist der Ansatz mit dem radioaktiven Zerfall (für den auch die Poissonverteilung gilt) hier einfacher nachzuvollziehen. Annahme Stoff A hat eine Zerfallsrate von 3 Teilchen/h. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten Stunde 5Teilchen emittiert werden ebenfalls 10,08%.

Wenn ich nun einen Stoff mit einer 60-fach stärkeren Radioaktivität, oder aber die 60-fache Masse des ersten Versuches verwende, dann erhalte ich eine Aktivität von 3 Teilchen/min. Die Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten Minute 5 Teilchen emittiert werden ist wieder 10,08%.

Mit diesem Vergleich erkennt man (vielleicht ), dass die Poissonverteilung sich nur auf die "Dichte" des Eintretens seltener, zufälliger und voneinander unabhängiger Ereignisse bezieht. Sie bezieht sich auf eine Dichte mit dem Mittelwert λ und gibt die Relation zu anderen Dichtewerten wieder. Diese Relation zwischen der mittleren "Dichte" zu häufigeren bzw. selteneren "Dichtewerten" muss(!) immer gleich sein, denn genau dieses Verhältnis bildet die Poissonverteilung ab. Wäre dies nicht so würde die Poissonverteilung nicht gelten.

Zurück zum Bibliotheksbeispiel:

Zitat:

bei dieser Aufgabe ist es jedoch unbekannt wie lange genau eine Bibliothek offen ist. Ob 40 oder 50 Stunden pro Woche..denn dann sehen auch die Wahrscheinlichkeiten etwas anders aus.

Wenn λ = 3 ist, dann ist P(5) immer(!) = 10,08%

Wenn 3 Besucher / Minute eintreffen ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Besucher in der nächsten Minute 10,08%.

Wenn 3 Besucher / Woche eintreffen ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Besucher in der nächsten Woche 10,08%.

Wenn 3 Besucher / (126 Minuten) eintreffen ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Besucher in den nächsten 126 Minuten 10,08%.

...

Genau dieses Verhältnis von 3 zu 5 Ereignissen gibt die Poissonverteilung wieder. Wenn die Bibliothek statt 40h /Woche tatsächlich 60h/Woche geöffnet hätte, dann würde natürlich die absolute Zahl der Besucher/Woche steigen - aber weil sich die Poissonverteilung nur auf die "Dichte" der Ereignisse bezieht, ist hier die Annahme der Wochenstunden wirklich willkürlich solange die Vorgabe λ = 3 eingehalten wird.


Ich weiß nicht, ob es jetzt verständlich ist, aber falls nicht solltest Du glaube ich wirklich Deinen Dozenten fragen


Fish